Le théorème du parapluie

Pour décrypter les phénomènes scientifiques les plus complexes, les plus grands penseurs ont généralement utilisé ce que Mickaël Launay appelle un « parapluie ».

À savoir un changement de point de vue, qui permet de mettre en lumière ce qui avait échappé à leurs prédécesseurs. Le parapluie, « c’est l’art de faire un pas de côté pour voir les choses sous un autre angle, plus adapté et plus efficace »(p. 82). Cette posture intellectuelle permet des raccourcis pratiques au quotidien. Ainsi, pour caler un rendez-vous au 4 mai dans son agenda, il est plus simple de se projeter au 34 avril pour arriver à la bonne date. « C’est une des vertus perturbantes des mathématiques : il est possible de penser juste avec des choses qui n’existent pas », pointe l’auteur (p.79).

Cette posture intellectuelle a aussi mené aux plus grandes découvertes scientifiques. C’est ainsi qu’en 1614, en Écosse, John Napier de Merchiston invente les logarithmes. Cette opération capable de transformer les multiplications en additions devint rapidement l’un des principaux outils des savants de tous domaines et, de manière plus large, de toutes les activités nécessitant des calculs à la chaîne.

La vie de tous les jours regorge d’aberrations apparentes sur le plan scientifique. Mais nombre de ces mystères ont été élucidés par les mathématiques. Selon la loi de Benford (ou « loi des nombres anormaux »), si l’on prend une liste quelconque de nombres (les prix d’un supermarché, les longueurs des fleuves dans le monde, les diamètres des planètes de notre système solaire, les populations par pays, etc.), environ 30 % de ces nombres commencent par 1, 18 % par 2, et 4 % par 9 !

Pour expliquer cette répartition contre-intuitive, Mickaël Launay revient sur les traces de John Napier de Merchiston. Celui-ci constate l’inégale répartition des nombres sur les échelles logarithmiques, ceux entre 1 et 2, 2 et 4 et 4 et 8 étant plus nombreux que ceux commençant par 7, 8 ou 9, car couvrant tous un intervalle allant du simple au double.

Dans le cas des frontières ou des côtes, l’ajout de détails de plus en plus petits en augmente la mesure, sans aucune limite. Un phénomène aujourd’hui connu sous le nom d’effet Richardson, ou paradoxe littoral. Ce sont ces figures au découpage illimité et dont on ne sait pas très bien s’il s’agit d’une ligne ou d’une surface que Mandelbrot appellera en 1974 « fractales ». Les étudier nous fait toucher à l’infini. Une réalité d’autant plus troublante que les fractales sont partout : fougères, arbres, découpage des feuilles, surface pulmonaire, ramifications des vaisseaux sanguins…

Les nombres immenses sont hors d’atteinte de nos représentations mentales. Au IIIe siècle, les savants indiens se posaient déjà la question du nombre de particules élémentaires dans l’univers. Mais, faute d’utilité pratique, il faut attendre le XXe siècle pour que la course aux grands nombres soit relancée.

La géométrie euclidienne, fondement absolu des mathématiques modernes, s’appuie sur cinq postulats (vérités élémentaires non démontrées).

Ce qui a amené « la plus grande énigme mathématique de tous les temps », selon l’auteur : le cinquième postulat d’Euclide (« étant donnés une droite et un point, il existe une unique droite parallèle à la droite donnée et passant par le point ») est-il vraiment nécessaire ? L’énigme ne sera résolue qu’au XIXe siècle, provoquant une onde de choc qui bouleversa l’ensemble des sciences. Une fois encore, la solution est simple et astucieuse : elle demande juste de changer de point de vue.

Pour expliciter la démarche intellectuelle menée, Launay nous fait d’abord nous pencher sur la qualification des couleurs, nécessairement subjective, car notre esprit est façonné et limité par le vocabulaire. Le découpage des couleurs trouve sa cause dans les divergences culturelles. Or, comme les couleurs, les mathématiques sont ambiguës et peuvent être victimes d’une subjectivité absolue. De fait, la matière dans son ensemble est touchée par des quiproquos potentiels. Ainsi, il s’avère impossible d’appliquer deux des cinq théorèmes d’Euclide à la navigation aérienne, du fait de la structure incurvée de la Terre. Sous l’influence du mathématicien Eugenio Beltrami (1868), sont établies des créations mentales de cartes représentant la surface déformée d’astres aplatis. Les mots « droite » ne signifient pas la même chose pour les habitants de ce disque imaginaire et pour nous. Les quatre premiers postulats d’Euclide s’appliquent dans ce monde, mais cela bloque pour le cinquième : il n’existe non pas une seule, mais une infinité de droites parallèles à la droite donnée et passant par un point.

En 1926 paraît un article qui allait changer à jamais notre vision de l’Univers, de l’espace et du temps : la théorie de la relativité, par le physicien Albert Einstein. Problématique : nous nous sentons immobiles alors que vivons sur la Terre, en mouvement perpétuel, ainsi que l’espace qui l’entoure. Comment cela se peut-il ? À la fin du XIXe siècle, les physiciens ont lancé une série d’expériences pour détecter les variations de la lumière selon la direction dans laquelle nous nous déplaçons dans l’espace. La lumière se déplace dans le vide à une vitesse de 300 000 km/seconde. Sa vitesse perçue ne change pas, quelle que soit celle de la Terre.

Une constatation surprenante, éclairée par la théorie de la relativité restreinte : les vitesses comme les positions sont relatives, et la vitesse de la lumière, invariante. Pour Einstein, les distances et les temps dépendent de la personne qui les mesure. Plus précisément, c’est le mouvement qui crée cette différence. Avec la relativité restreinte, il n’existe pas deux géométries différentes dans notre Univers, mais une infinité. Qui plus est, la différence de perception affecte aussi la mesure du temps. Plus l’on va vite, plus les distances observées semblent courtes et plus les temps paraîtront longs.

Depuis Einstein, les découvertes s’enchaînent. L’année 2019 a vu la publication de la première photo d’un trou noir, axe piégeant la lumière dans sa géométrie, dont l’existence était pressentie depuis les années 1960. L’une des curiosités de ces « monstres » de l’espace étant une distorsion infinie du temps.

Ce livre est un miracle de vulgarisation. Mickaël Launay se place en continu dans le cerveau d’un novice et décrit les cheminements de pensées si habilement que la lecture de ce livre, qui aborde pourtant des notions parmi les plus complexes, est d’une fluidité déconcertante. La facilité de compréhension est encore accentuée par les nombreux schémas explicatifs. Sa structure même est progressive.

Ouvrage recensé – Mickaël Launay, Le théorème du parapluie ou L'art d'observer le monde dans le bon sens, Paris, Flammarion, 2019.

Du même auteur – Le grand roman des maths : de la Préhistoire à nos jours, Paris, Flammarion, 2016.