Éloge des ma­thé­ma­tiques

Pour le philosophe, loin de ce qu’on pourrait penser spontanément et de ce qu’on a souvent eu l’impression d’expérimenter à l’école, les mathématiques sont une discipline de liberté et non de contraintes. Elles demandent en effet une forte capacité d’invention. À quelle conception de la liberté Alain Badiou pense-t-il ici ? Il semble proche de la conception spinoziste : pour Spinoza, la véritable liberté ne consiste en effet pas à s’opposer aux contraintes (on le peut d’ailleurs rarement : inutile par exemple de tenter de s’affranchir de la loi de gravitation universelle en sautant d’une falaise et en battant des bras…). Elle consiste à les accepter, les comprendre et nous en servir à notre bénéfice.

Dans le cas des mathématiques, on ne peut s’opposer aux contraintes formelles, nombreuses, qui régissent la discipline. En revanche, en comprenant ces contraintes, on peut s’en servir avec inventivité pour résoudre de manière inédite les problèmes posés. Alain Badiou tient également à rappeler que les mathématiques peuvent aiguiller la science. On sait que la physique ne peut notamment pas se passer des mathématiques pour modéliser les lois qu’elle met au jour. Mais pour le philosophe, cela va plus loin : les mathématiques sont souvent en avance sur les sciences naturelles. Il donne ainsi l’exemple de la théorie des coniques : dès l’Antiquité tardive, on savait mathématiquement définir l’ellipse et l’étudier ; il a en revanche fallu attendre le XVIIe siècle et Kepler pour se rendre compte que l’orbite des planètes obéissait très précisément à ces lois mathématiques, parce que leur trajectoire était elliptique et non circulaire. La liberté propre aux mathématiques lui permet ainsi de devancer la science, ses observations et ses protocoles, et d’avoir des intuitions fulgurantes sur le monde.

Pour Alain Badiou, les pensées philosophique et mathématique sont nées en même temps, avec Parménide, au Ve siècle avant J.-C. Après lui, Platon a ensuite placé les mathématiques dans les sciences nécessaires à l’éducation philosophique et ainsi donné une impulsion qui s’est poursuivie jusqu’au XIXe siècle.

Aujourd’hui, le lien entre mathématiques et philosophie s’est cependant beaucoup distendu. La plupart des philosophes qui s’intéressent aux mathématiques sont en réalité ceux qui font partie de ce qu’on nomme la tradition « analytique » : majoritairement anglo-saxonne. Cette tradition de philosophes se concentre sur l’analyse des énoncés langagiers et de la distinction entre ceux qui sont pourvus de sens, raisonnables et logiques, et ceux qui sont considérés comme étant dépourvus de sens, « métaphysiques ». Mais lier les mathématiques à une métaphysique, ce qui est la démarche d’Alain Badiou dans son œuvre, est devenu rare.

Les mathématiques sont pourtant importantes pour la pensée, car elles ont été la première discipline indépendante des autorités traditionnelles. Elles introduisent en effet pour la première fois dans l’histoire des vérités universelles totalement affranchies de validation mythologique ou religieuse, qui ne prennent plus la forme du récit, mais de la preuve. Celle-ci ne dépend que de la démonstration rationnelle, qui est exposée à tous et peut alors être examinée et acceptée ou réfutée, sans avoir à se référer à une quelconque autorité extérieure au raisonnement lui-même. C’est d’ailleurs cet idéal de la démonstration, indépendante de tout préjugé, qu’a retenu Descartes des mathématiques au moment de fonder sa philosophie.

On ne doute pas de la réalité de l’objet d’une discipline comme la physique : il s’agit d’objets concrets, de réalités naturelles (les solides en mouvement, les chutes des corps, etc.). Mais qu’en est-il de l’objet des mathématiques ? On peut très bien disposer cinq objets sur une table et les compter, mais on ne pourra jamais voir ou toucher le chiffre cinq, ni le manipuler autrement que par un calcul. Les mathématiques sont bien la discipline la plus abstraite, dont on a coutume de dire qu’elle est la seule à pouvoir se passer du monde. Alors qu’en est-il de son objet, en fait-il partie ? En réponse à cette question, deux conceptions des mathématiques s’affrontent depuis des siècles. La première soutient que l’objet des mathématiques a une réalité dans le monde. Le plus éminent représentant de cette conception demeure Platon. Pour le philosophe, les Idées avaient un degré de réalité supérieur aux choses sensibles, concrètes, qui n’étaient que l’imitation imparfaite de ces idées. Dans ce cadre, les idées mathématiques sont un intermédiaire entre ces deux ordres.

Alain Badiou nous donne enfin une clé d’entrée dans un débat posé par la nature même du langage mathématique : s’agit-il d’une langue universelle ? Car si l’on suit la position de Kant et que l’on admet que notre système cognitif épouse des catégories mathématiques, cela signifie que les mathématiques sont universelles. Donc qu’elles échappent au particularisme des langues : quand on enseigne les mathématiques au Japon, on le fait bien sûr en japonais, mais le contenu de la discipline n’appartient à aucune langue et ne varie pas.

Or, ce contenu se présente comme un ensemble de signes et de symboles signifiants (les nombres, les signes d’opérations, la modélisation géométrique, etc.), autrement dit comme une langue. Mais il s’agit d’une langue universelle. Les mathématiques ne poseraient donc pas le problème de l’imperfection de la traduction, puisqu’elles n’ont pas besoin d’être traduites (si ce n’est pour leur apprentissage). Cependant, si les mathématiques ne sont pas divisées en autant de langues qu’il existe de cultures, elles ne sont pour autant pas totalement universelles.

À travers cet entretien, Alain Badiou parvient ainsi à dénouer les incompréhensions entourant parfois la discipline mathématique et à dépasser les préjugés que l’on nourrit à son égard. Il convainc notamment de son rôle crucial dans toute pensée, philosophique bien sûr, mais également politique ou même quotidienne.

Si cette présentation des mathématiques, à rebours des idées reçues à son sujet, est très éclairante pour chacun, elle est également l’occasion pour Alain Badiou d’exposer sa conception des mathématiques, qui peut toutefois souffrir de quelques critiques. Il se déclare partisan de la conception réaliste des mathématiques, dont le principal représentant fût Platon.

Et il affirme à sa suite que les mathématiques révèlent la nature de ce monde, ce qu’on appelle en philosophie « l’ontologie » (l’étude de l’être en tant qu’être). Il a inspiré sur cette voie des philosophes contemporains (comme Quentin Meillassoux). Mais on peut de ce fait lui opposer l’argumentaire formaliste. Peut-on en effet vraiment dire que le langage mathématique nous dit ce qu’est l’être, alors qu’il existe désormais plusieurs systèmes concurrents ?

Ouvrage recensé – Éloge des mathématiques, Paris, Éditions Flammarion, coll. « Café Voltaire », 2015.

Du même auteur – Le nombre et les nombres, Paris, Éditions du Seuil, 1990.